1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n^2

1*2 + 2*3 + 3*4 + ... + n*(n + 1) = n*(n + 1)*(n + 2) / 3

1*1! + 2*2! + 3*3! + ... + n*n! = (n + 1)! - 1

1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = n*(n + 1)*(2n + 1) / 6

1^2 - 2^2 + 3^2 -... + (-1)^n * n^2 = (-1)^(n + 1) * n * (n + 1) / 2

2^2 + 4^2 + ... + (2n)^2 = 2n*(n+1)*(2n+1) / 3

1/2! + 2/3! + ... + n/(n+1)! = 1 - 1/(n+1)!

2^(n + 1) < 1 + (n + 1)2^n

1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = (n*(n + 1) / 2)^2

1/(2*4)+1*3/(2*4*6)+1*3*5/(2*4*6*8)+...+(1*3*5*...*(2n-1))/(2*4*6*...*(2n+2)) = 1/2 - (1*3*5*...*(2n+1))/

(2*4*6*...*(2n+2))

1/(2^2-1) + 1/(3^2-1) + .. + 1 / ((n+1)^2 - 1) = 3/4 - 1/(2*(n+1)) - 1/(2*(n+2))

1/2n <= 1*3*5*...*(2n-1) / (2*4*6*...*2n) <= 1 / sqrt(n+1)  n=1,2...

2^n >= n^2 , n=4, 5,...

2^n >= 2n + 1, n=3,4,...

r^0 + r^1 + ... + r^n < 1 / (1 - r), n>=0, 0<r<1

1*r^1 + 2*r^2 + ... + n*r^n < r / (1-r)^2, n>=1, 0<r<1

1/2^1 + 2/2^2 + 3/2^3 + ... + n /2^n < 2, n>=1

(a(1)*a(2)*...*a(2^n))^(1/2^n) <= (a(1) + a(2) + ... + a(2^n)) / 2^n, n = 1, 2, ... a(i)是正数 注:()用来标记下标

cos(x) + cos(2x) + ... + cos(nx) = cos((x/2)*(n+1))*sin(nx/2) / sin(x/2), 其中sin(x/2) != 0

1*sin(x) + 2*sin(2x) + ... + n*sin(nx) = sin((n+1)*x) / (4*sin(x/2)^2) - (n+1)cos((2n + 1)/2 * x) / (2 * sin(x/2))
其中sin(x/2) != 0

5^n - 1能被4整除

7^n - 1能被6整除

11^n - 6能被5整除

6*7^n - 2*3^n能被4整除

3^n + 7^n - 2能被8整除

n条直线能将平面最多划分为(n^2 + n + 2) / 2个区域

定义H(k) = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/k
则
1 + n/2 <=H(2^n) <= 1 + n

H(1) + H(2) + ... + H(n) = (n + 1) * H(n) - n

1*H(1) + 2*H(2) + ... + n*H(n) = n*(n + 1) / 2 * H(n + 1) - n * (n + 1) / 4

  today,I found something spcial when googling.
  when typing Yao,the words related to Yao show up. so cool!
  why dont i get this eailier?why? 
  take a look at the sites.
  BINGO!
  www.google.com vs www.google.cn
 
  COME ON,everybody,try www.google.cn and enjoy it!!

    小时候，我就幻想着自己是大侠，能锄强扶弱，该出手时就出手。
    金庸小说中的个个英雄人物都浮现在眼前，萧锋打杨过，打的都是错，你打我一拳，我还你一烙！
    死亡笔记中将此发挥到了极至！当某一个善良的人拥有了生死大权，整个世界会变成什么样子。道德和法律的较量，月与L的较量，相当的引人入胜。对月和L都不得不说一句，“我靠，你太有才了！！！”
<ps:当然，这也其实是对它的作者说的，毕竟这都是作者的功劳。>
    在此对作品本身就不说太多，自己去看吧，绝对值得一看啊！
     
    本来还想说说日本的创新和中国的闭关自守，算了吧，火星人都已经知道了，这个也不是一两天可以解决的问题，前进中的中国，慢慢来吧。